Борис Щербаков родился в Ленинграде 11 декабря 1949 года в семье шофера и работницы завода.
Семья Щербаковых состояла из пяти человек, жили они на шестнадцати метрах в коммунальной квартире. Окно комнаты выходило на Финский залив, видя корабли Борис мечтал о том, что станет капитаном и будет путешествовать.
В 12 лет Бориса отобрали на роль Глебки Прохорова в детском приключенческом фильме «Мандат». В 1967 году Борис окончил школу и попытался поступить в ЛГИТМИК, но не прошёл конкурс, отсеявшись на третьем туре. Несмотря на эту неудачу он поступил в Институт культуры имени Крупской на режиссёрский факультет.
Через год Борис Щербаков узнал, что в Москве П. В. Массальский будет набирать курс в Школу-студию МХАТ. Поскольку Борис давно мечтал учиться именно у Массальского, он решил всё бросить и ехать попытать счастья в Москву. Декан института всё же смог настоять на том, чтобы Борис сдал сессию. Отправившись в Москву с задержкой (из-за сдачи сессии), Борис с ужасом узнал, что экзамены уже закончены — из-за того, что театр уезжал на гастроли в Японию экзамены провели на неделю раньше.
Борис Васильевич вспоминает:
«Терять мне было нечего, я ворвался в аудиторию, где заседали преподаватели, и заорал: „Пал Масалич! Я хочу у вас учиться!“ Мало того, что я устроил переполох, но ещё и перепутал имя педагога. Все были в замешательстве. Но, видимо, то, что я при всех заявил, что хочу учиться у Павла Владимировича Массальского, польстило известному педагогу, он прослушал меня и принял. Через несколько дней я уже занимался переводом из ленинградского института в Школу-студию МХАТ».
Во время учёбы в школе-студии Борис Щербаков каждую неделю на выходные ездил зайцем, в общем вагоне пассажирского поезда, в Ленинград. По ночам он подрабатывал машинистом моечной машины на станции метро «Проспект Маркса» (ныне «Охотный ряд»). В 1972 году Борис окончил школу-студию при МХАТ и в этом же году стал актёром МХАТа. В 2003 году Борис Щербаков ушел из МХАТ им. А. П. Чехова.
Жена Бориса Щербакова — актриса, заведующий труппой МХАТа 1991—2001 годы Татьяна Бронзова. Познакомились и поженились во время учёбы в школе-студии МХАТ. Сын Бориса и Татьяны — Василий, закончил МГУ, юрист, в 2006 году закончил ВГИК режиссерский факультет. В 2007 году Борис Шербаков и Василий Щербаков сняли фильм «Сапёры».
Один из ведущих утреннего телеканала «Доброе Утро» на Первом канале.